多元函数的极值及求法PPT

极值的概念在多元函数的研究中，我们常常会关注函数在某一点附近的变化情况。如果函数在某一点附近的所有点上的函数值都不大于（或不小于）该点的函数值，则称该点的...

极值的概念在多元函数的研究中，我们常常会关注函数在某一点附近的变化情况。如果函数在某一点附近的所有点上的函数值都不大于（或不小于）该点的函数值，则称该点的函数值为函数的极大值（或极小值）。极大值和极小值统称为极值。极值的必要条件设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$处取得极值，则函数在该点的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，并且都等于0。这就是极值的必要条件。极值的充分条件虽然必要条件是寻找极值点的关键，但它并不能保证找到的点一定是极值点。为了确定一个点是否为极值点，我们还需要使用极值的充分条件。设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$的邻域内具有连续的二阶偏导数，且$\frac{\partial z}{\partial x} = 0$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，则可以根据二阶偏导数的值来判断该点是否为极值点。当$\Delta = \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2 > 0$时若$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$，则$f(x_0, y_0)$为极小值；若$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0$，则$f(x_0, y_0)$为极大值当$\Delta = 0$时需进一步考察更高阶的导数或利用其他方法来判断当$\Delta < 0$时$P(x_0, y_0)$不是极值点极值的求法求多元函数的极值通常分为以下步骤：确定定义域首先确定函数的定义域，确保函数在该域内连续且有定义求一阶偏导数计算函数的一阶偏导数，并令其等于0，得到一个或多个方程组解方程组解这个方程组，得到可能的极值点判断极值利用极值的充分条件，判断每个极值点是否为真正的极值点，并确定极值的类型（极大值或极小值）比较函数值在定义域内选取一些其他点，计算函数在这些点的值，并与已找到的极值进行比较，以确定函数在整个定义域上的最大值和最小值注意事项在求极值的过程中需要注意函数的定义域，确保在定义域内求解极值点可能不存在也可能存在多个。因此，在求解过程中需要全面考虑极值点不一定是全局极值点也可能是局部极值点。在实际应用中，需要根据具体问题来判断总结：多元函数的极值求解是一个复杂而重要的过程。通过理解极值的概念和必要条件，利用充分条件进行判断，并掌握极值的求法，我们可以有效地找到函数的极值点，并确定极值的类型。在实际应用中，这些知识和方法具有重要的价值。