引言1. 为什么要学习函数单调性？函数单调性是函数性质的重要组成部分有助于理解函数的图像和变化趋势在实际问题中有广泛应用如经济、工程、物理等领域2. 函数...

引言1. 为什么要学习函数单调性？函数单调性是函数性质的重要组成部分有助于理解函数的图像和变化趋势在实际问题中有广泛应用如经济、工程、物理等领域2. 函数单调性的定义当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) \leq f(x_2)$（或$f(x_1) \geq f(x_2)$），则称函数$f(x)$在其定义域内单调递增（或单调递减）函数单调性的判断方法1. 导数法导数大于0函数单调递增导数小于0函数单调递减2. 差值法设$x_1 < x_2$计算$f(x_1) - f(x_2)$若$f(x_1) - f(x_2) > 0$则函数在区间$(x_1, x_2)$上单调递减若$f(x_1) - f(x_2) < 0$则函数在区间$(x_1, x_2)$上单调递增3. 图像法根据图像的变化趋势判断函数的单调性函数单调性的应用1. 求函数的极值在函数的单调性发生变化的点处函数可能取得极值通过分析函数的单调性可以找到函数的极值点，进而求出极值2. 解决不等式问题可以将不等式问题转化为函数值的大小比较问题，从而简化求解过程3. 优化问题经常需要求解某种条件下的最优解。通过分析函数的单调性，可以找到最优解的存在条件和取值范围典型例题解析例题1：判断函数$f(x) = x^3 - 3x$的单调性。【解析】求导数$f'(x) = 3x^2 - 3$解不等式$f'(x) > 0$得到$x > 1$或$x < -1$解不等式$f'(x) < 0$得到$-1 < x < 1$结论函数在区间$(-\infty, -1)$和$(1, +\infty)$上单调递增，在区间$(-1, 1)$上单调递减例题2：求函数$f(x) = \ln(x) + \frac{1}{x}$的极值。【解析】求导数$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$解方程$f'(x) = 0$得到$x = 1$分析单调性当$0 < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$结论函数在$x = 1$处取得极小值，极小值为$f(1) = 1$总结与拓展1. 总结掌握判断方法及其应用对于理解函数性质和解决实际问题具有重要意义2. 拓展函数单调性与函数的凹凸性、周期性等性质之间存在一定的联系可以进一步探索它们之间的关系在实际应用中可以根据具体问题选择合适的函数模型，并利用函数的单调性进行求解和优化以上是关于函数单调性的课件内容，希望对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的讨论，请随时与我联系。