多项式的因式分解，又称多项式的因式分解法，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是整式乘法的逆运算。因式分解的方法多种多样，除中学课本上介绍的提取公因式...

多项式的因式分解，又称多项式的因式分解法，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是整式乘法的逆运算。因式分解的方法多种多样，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。因式分解与整式乘法互为逆运算。因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，而整式乘法是把几个整式相乘转化为一个多项式。因式分解的意义因式分解在数学求根作图方面有相当重要的作用，在初等数学中，分解因式、求根公式与配方法都是解一元二次方程的重要方法。而且，因式分解也是一元二次方程在实数范围内求解的重要方法。因式分解的方法主要有提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法（平方差公式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式、三角恒等式等）、配方法、拆项法、因式定理法。提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。例 1、分解因式x -2x + xx - 2x + x=x(1-2+1)=x应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式a +4ab +4ba +4ab +4b =（a+2b）（a+2b）=（a+2b）分组分解法要把多项式am + an + bm + bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m + n) + b(m + n)，这时可以提取公因式m + n，得到(a + b)(m + n)。例 3、分解因式m +5n - mn -5mm + 5n - mn - 5m= m -5m + 5n - mn= (m -5m) + (- mn + 5n)= -4m + (5n - mn)= -4m - n(m - 5)= (5 - m)(4 + n)十字相乘法对于mx + ny = px + qy，把二次项系数m和常数项系数q相乘，让一次项系数n和p相乘，分别作为两个因式的首项和尾项，就有mx + ny = (mx + ny)(px + qy)。这就是十字相乘法分解因式的方法。例 4、分解因式x - yx - y = x - 2xy + y= x - 2xy + y= (x - y)(x - y)=(x - y)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式分解因式。例 5、分解因式x +3x - 40x +3x - 40= x +3x + -4=x +3x + -4=(x +2) -4=(x +2+2)(x +2-2)=(x +4)(x -2)因式定理法根据因式定理，如果f(a)=0，那么f(x)必定含有因式x-a。因此，我们可以把f(x)写成(x-a)Q(x)的形式，其中Q(x)是x-a之外的因式。例 6、分解因式2x - x + 5令f(x) = 2x - x + 5，我们可以尝试找出使得f(a) = 0的x值。f(0) = 2(0) - (0) + 5 = 5 ≠ 0f(1) = 2(1) - (1) + 5 = 6 ≠ 0f(2) = 2(2) - (2) + 5 = 7 ≠ 0拆项、添项法拆项、添项法，就是根据多项式的特点，把多项式中的某一项拆成两项，或添上两项，使多项式转化成几个整式的乘积。例 7、分解因式x - yx - y = x - 2xy + y= x - y - 2xy + y= (x - y) - 2xy= (x - y)求根法对于某些多项式，如果我们可以找到它的所有根，那么就可以通过将这些根组合成因式来分解多项式。例 8、分解因式x + x - 2x + x - 2 的根是 x = 1 和 x = -2。因此，x + x - 2 可以分解为 (x - 1)(x + 2)。换元法换元法是在分解较复杂的多项式时常用的方法。通过引入新的变量（即换元），可以将原多项式转化为更简单的形式，从而更容易地进行因式分解。例 9、分解因式x + x - 5x - 6令 y = x，则原式变为 y + y - 5y - 6。进一步化简得到 y - 6y - 6。这是一个二次多项式，可以分解为 (y - 3)(y + 2)。将 y 替换回 x，得到 (x - 3)(x + 2)。因式分解的应用因式分解在数学中有许多应用，包括但不限于：解一元二次方程因式分解是解一元二次方程的一种常用方法。通过因式分解，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程的乘积，从而轻松求解简化计算在进行多项式运算时，通过因式分解可以将复杂的多项式转化为几个简单整式的乘积，从而简化计算过程证明恒等式在数学中，经常需要证明一些恒等式。通过因式分解，可以将等式左边和右边都转化为相同的形式，从而证明它们相等解决几何问题在几何学中，因式分解也被广泛应用。例如，在求解三角形的面积、体积等问题时，可以通过因式分解来简化计算过程总结因式分解是数学中一种重要的技巧和方法，它可以将一个复杂的多项式转化为几个简单整式的乘积。通过掌握和应用因式分解的各种方法（如提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法、配方法、拆项法、因式定理法、求根法、换元法等），我们可以更轻松地解决各种数学问题。同时，因式分解也在实际应用中发挥着重要作用，例如在工程、物理、经济等领域都有广泛应用。