利用函数的连续性求极限如果函数在某值的左侧趋近的极限和右侧趋近的极限一致且等于函数在该值的函数值，则函数在该值极限存在，且极限值就等于该点的函数值。例如，...

利用函数的连续性求极限如果函数在某值的左侧趋近的极限和右侧趋近的极限一致且等于函数在该值的函数值，则函数在该值极限存在，且极限值就等于该点的函数值。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} \sin x/x$。由于 $\sin x$ 在 $x = 0$ 处连续，因此 $\lim_{{x \to 0}} \sin x/x = \sin 0/0 = 0$。利用有理化分子或分母求极限通过有理化分子或分母，可以消除分母中的零点或使分子分母同阶，从而更容易地求出极限。例如，求极限 $\lim_{{x \to \infty}} (x + \sqrt{x^2 + x})/(x - \sqrt{x^2 + x})$。有理化分子得到：$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{x + \sqrt{x^2 + x}}{x - \sqrt{x^2 + x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{(x + \sqrt{x^2 + x})^2}{x^2 - (x^2 + x)} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 + 2x\sqrt{x^2 + x} + x^2 + x}{x} = \lim_{{x \to \infty}} (2\sqrt{x^2 + x} + 1) = 2$$利用两个重要极限求极限$\lim_{{x \to 0}} \sin x/x = 1$$\lim_{{x \to \infty}} (1 + 1/x)^x = e$通过变换和化简，可以将一些复杂的极限转化为这两个重要极限的形式，从而求出极限。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} (\sin 2x)/(x\sin 3x)$。$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 2x}{x\sin 3x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{2\sin 2x}{2x\sin 3x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{1}{\sin 3x/3} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$$利用洛必达法则求极限洛必达法则是求未定式极限的有效工具，当分子分母都趋近于零或无穷大时，可以通过求导来化简极限表达式。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} \sin x/x$。$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$利用夹逼准则求极限夹逼准则适用于求一些通过放缩可以夹在某个范围内的极限。例如，求极限 $\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{n}$。由于 $1 \leq \sqrt[n]{n} \leq n^{1/n}$，且 $\lim_{{n \to \infty}} 1 = 1$，$\lim_{{n \to \infty}} n^{1/n} = 1$，根据夹逼准则，有 $\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{n} = 1$。利用定积分的定义求极限定积分的定义可以转化为极限的形式，因此可以利用定积分的定义来求一些特殊的极限。例如，求极限 $\lim_{{n \to \infty}} \sum_{{i=1}}^{n} (i/n)^2 \cdot (1/n)$。这个极限可以看作是一个以 $1/n$ 为步长的定积分的和，即 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。因此，$$\lim_{{n \to \infty}} \sum_{{i=1}}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$利用泰勒公式求极限泰勒公式可以将函数展开成无穷级数，通过取前几项近似代替原函数，可以方便地求出一些复杂函数的极限。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x}{x^3}$。利用泰勒公式，将 $\sin x$ 展开到 $x^3$ 项，得到 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$。代入原极限表达式，得到$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x - \frac{x^3}{3!} - x}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}$$利用数列极限的性质求极限数列极限的性质如保号性、有界性、夹逼准则等，也可以用于求极限。例如，求极限 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - 1}$。由于 $n^2 - 1 > 0$，且 $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \leq (n + 1)(n - 1) + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2$，因此$$0 < \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - 1} \leq \frac{n^2}{n^2 - 1} = 1 + \frac{1}{n^2 - 1}$$由夹逼准则，有 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - 1} = 1$。利用无穷小量的比较求极限无穷小量的比较可以帮助我们判断极限的存在性和值。如果两个无穷小量的阶数相同，则它们的比值极限为常数；如果阶数不同，则阶数较高的无穷小量在极限中可以忽略。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3}$。将分子进行泰勒展开，得到 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$，$x\cos x = x - \frac{x^3}{2!} + o(x^3)$。代入原极限表达式，得到$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x - \frac{x^3}{3!} - (x - \frac{x^3}{2!})}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{3}$$利用洛必达法则的推广形式求极限洛必达法则的推广形式可以处理更一般的未定式极限，包括 $0^0$、$\infty^0$、$0^\infty$、$\infty^\infty$ 等形式。例如，求极限 $\lim_{{x \to 0}} e^{1/x}$。这个极限属于 $\infty^\infty$ 形式，可以利用洛必达法则的推广形式求解。令 $y = e^{1/x}$，则 $\ln y = 1/x$。对两边求导得到 $y'/y = -1/x^2$，即 $y' = -y/x^2 = -e^{1/x}/x^2$。因此，$$\lim_{{x \to 0}} e^{1/x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\ln y} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x^2}{-e^{1/x}} = 0$$以上就是求极限的十种常用方法。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法。同时，还需要注意极限存在的条件和极限值的存在性。在求极限的过程中，往往需要结合多种方法进行化简和计算。通过不断练习和积累经验，可以逐渐掌握求极限的技巧和方法。