平面向量基本定理及坐标表示PPT

平面向量基本定理平面向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了在平面内，任意两个不共线的向量可以作为基底，去线性表示该平面内的任意一个向量。定理内容...

平面向量基本定理平面向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了在平面内，任意两个不共线的向量可以作为基底，去线性表示该平面内的任意一个向量。定理内容如果$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内的任意向量$\vec{a}$，存在唯一的一对实数$x$和$y$，使得$$\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$$这里，$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$被称为平面内的一个基底，而$x$和$y$是向量$\vec{a}$关于这个基底的坐标。定理证明证明过程主要基于向量的线性组合和共线性质。由于$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$不共线，它们可以构成一个平面坐标系。在这个坐标系中，任意一个向量$\vec{a}$都可以由$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$的线性组合来表示。而唯一性则是由向量的线性独立性来保证的。定理应用平面向量基本定理在向量运算、几何证明和向量分解等方面有广泛的应用。例如，在解决向量方程、计算向量夹角、判断向量共线等问题时，都可以利用这个定理来简化计算。平面向量的坐标表示在平面内选定一个基底后，任意一个向量都可以表示为这个基底中向量的线性组合，这些线性组合的系数就是该向量的坐标。坐标定义设$\vec{e}_1 = (x_1, y_1)$和$\vec{e}_2 = (x_2, y_2)$是平面内的一个基底，对于平面内的任意向量$\vec{a} = (x, y)$，若存在实数$m$和$n$，使得$$\vec{a} = m\vec{e}_1 + n\vec{e}_2$$则称$m$和$n$为向量$\vec{a}$关于基底$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$的坐标，记作$(m, n)$。坐标计算向量坐标的计算可以通过解线性方程组来实现。设$\vec{a} = (x, y)$，$\vec{e}_1 = (x_1, y_1)$，$\vec{e}_2 = (x_2, y_2)$，则根据向量线性表示的定义，有$$(x, y) = m(x_1, y_1) + n(x_2, y_2)$$展开后得到线性方程组$$\begin{cases}mx_1 + nx_2 = x \my_1 + ny_2 = y\end{cases}$$解这个方程组，就可以得到向量$\vec{a}$关于基底$\vec{e}_1$和$\vec{e}_2$的坐标$(m, n)$。坐标性质向量坐标具有一些重要的性质，如坐标运算的线性性、坐标与向量长度和夹角的关系等。这些性质在向量运算和几何证明中非常有用。线性性向量坐标的线性性是指，若向量$\vec{a}$和$\vec{b}$关于同一基底的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则对于任意实数$k$，有$$k\vec{a} + \vec{b} = (kx_1 + x_2, ky_1 + y_2)$$这个性质在向量运算中非常重要，它使得向量的线性组合可以直接通过坐标的线性组合来计算。长度与夹角向量坐标与向量长度和夹角之间也有一定的关系。设向量$\vec{a}$关于某基底的坐标为$(x, y)$，则向量$\vec{a}$的长度$|\vec{a}|$可以通过坐标计算得到：$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$同样地，如果向量$\vec{b}$关于同一基底的坐标为$(x_1, y_1)$，则向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角$\theta$可以通过坐标计算得到：$$\cos\theta = \frac{x_1x + y_1y}{\sqrt{(x^2 + y^2)(x_1^2 + y_1^2)}}$$这些性质使得我们可以通过向量的坐标来方便地计算向量的长度和夹角，从而进一步解决几何问题。向量的运算与坐标运算在平面内，向量的运算（如加法、减法、数乘）可以通过向量的坐标运算来实现。向量加法设向量$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量$\vec{a} + \vec{b}$的坐标为$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。向量减法设向量$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量$\vec{a} - \vec{b}$的坐标为$(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。数乘向量设向量$\vec{a} = (x, y)$，实数$k$，则数乘向量$k\vec{a}$的坐标为$(kx, ky)$。通过这些坐标运算规则，我们可以将向量的运算转化为坐标的运算，从而简化计算过程。基底的选择与变换在平面内，不同的基底可以表示同一个向量，但对应的坐标会有所不同。基底的选择和变换是研究向量问题时需要注意的一个重要方面。基底的选择原则在选择基底时，一般要求基底中的向量不共线，这样可以保证基底的唯一性和线性表示的可行性。此外，基底的选择还应考虑计算的方便性和几何意义的明确性。基底变换与坐标变换如果两个基底之间存在线性变换关系，那么同一个向量在这两个基底下的坐标之间也会存在相应的变换关系。这种变换关系可以通过线性代数中的矩阵运算来表示和实现。总结与展望平面向量基本定理及坐标表示是向量代数的重要内容，它们在理论研究和实际应用中都有着广泛的应用。通过掌握平面向量的基本概念、性质和运算规则，我们可以更好地理解和解决涉及向量的几何问题和物理问题。随着数学和物理学科的不断发展，向量理论的应用领域也在不断扩展。例如，在计算机图形学、机器人技术、数据分析和人工智能等领域，向量理论都发挥着重要的作用。因此，深入学习和理解平面向量基本定理及坐标表示对于拓展我们的知识视野和提高解决实际问题的能力具有重要的意义。习题与练习为了巩固和加深对平面向量基本定理及坐标表示的理解，以下提供一些习题和练习供读者参考：计算向量$\vec{a} = (23)$和$\vec{b} = (-1, 1)$的和、差和数乘结果设向量$\vec{e}_1 = (10)$，$\vec{e}_2 = (0, 1)$，向量$\vec{a}$在这两个向量下的坐标为$(x, y)$。求证：$\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$给定平面内三个不共线的点$A(12)$，$B(3, 4)$，$C(5, 6)$。求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐标表示，并计算它们之间的夹角设向量$\vec{a} = (12)$，$\vec{b} = (3, 4)$。找一个向量$\vec{c}$，使得$\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$构成平面内的一个基底，并求出向量$\vec{c}$的坐标通过完成这些习题和练习，读者可以进一步加深对平面向量基本定理及坐标表示的理解和掌握。同时，这些练习也有助于培养读者的数学思维和解决问题的能力。