平面向量基本定理平面向量基本定理是线性代数中的一个基本定理，它指出在平面内，任意两个不共线的向量都可以作为基底，用来线性表示该平面内的所有向量。定理表述如...

平面向量基本定理平面向量基本定理是线性代数中的一个基本定理，它指出在平面内，任意两个不共线的向量都可以作为基底，用来线性表示该平面内的所有向量。定理表述如果 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内的任意向量 $\vec{a}$，都存在唯一的实数对 $(x, y)$，使得$$\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$$这里，$\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 被称为平面内向量的一组基底。实数 $x$ 和 $y$ 被称为向量 $\vec{a}$ 在基底 $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ 下的坐标。定理证明证明平面向量基本定理通常依赖于几何直观和向量的线性组合性质。由于证明过程较为复杂，这里仅给出简要思路：假设 $\vec{a}$ 不能用 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 线性表示即不存在实数 $x$ 和 $y$ 使得 $\vec{a} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$考虑向量 $\vec{a}$、$\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 构成的几何图形利用共线向量定理和反证法，证明 $\vec{a}$ 必然可以表示为 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 的线性组合通过比较系数证明实数 $x$ 和 $y$ 的唯一性应用示例假设有两个不共线的向量 $\vec{i} = (1, 0)$ 和 $\vec{j} = (0, 1)$，它们可以作为平面内的一组标准基底。对于平面内的任意向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，根据平面向量基本定理，有$$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}$$即 $(a_1, a_2) = a_1(1, 0) + a_2(0, 1)$。这实际上是向量坐标表示的直接应用。平面向量及运算的坐标表示在平面直角坐标系中，每个向量都可以用一个有序实数对来表示，这个有序实数对就是该向量在坐标轴上的投影长度。向量的运算也可以通过坐标运算来实现。向量坐标表示设平面直角坐标系中，点 $A(x_1, y_1)$ 和点 $B(x_2, y_2)$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标表示为 $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。向量加法坐标运算设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量加法的坐标运算为$$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$向量减法坐标运算设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量减法的坐标运算为$$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$数乘向量坐标运算设向量 $\vec{a} = (x, y)$，实数 $k$，则数乘向量的坐标运算为$$k\vec{a} = (kx, ky)$$向量点积坐标运算设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量点积的坐标运算为$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$向量叉积坐标运算设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则向量叉积（也称为向量积或外积）的坐标运算为$$\veca} \times \vec{b} = (x_1y_2 - x_2y_1, x_2x_1 - y_2y_1)$$叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原向量所在的平面，长度等于原向量构成的平行四边形的面积。向量长度与模长坐标运算设向量 $\vec{a} = (x, y)$，则向量 $\vec{a}$ 的长度（或称为模长）的坐标运算为$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$向量夹角坐标运算设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，且 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 不共线，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 的坐标运算为$$\cos\theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$$$\theta = \arccos\left(\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\right)$$向量正交（垂直）条件在平面内，如果两个向量正交（即夹角为 $90^\circ$），则它们的点积为零。设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，向量 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 正交的充要条件是$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$向量投影坐标运算设向量 $\vec{a} = (x, y)$，向量 $\vec{b} = (x_0, y_0)$，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影长度为$$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{xx_0 + yy_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$投影向量本身为$$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} = \left(\frac{xx_0 + yy_0}{x_0^2 + y_0^2}\right)(x_0, y_0)$$向量分解任意一个向量 $\vec{a}$ 可以分解为在另外两个非零向量 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 方向上的两个分向量之和，这通常称为向量的分解。如果 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 是正交的，分解会变得特别简单。总结平面向量基本定理及坐标表示是线性代数和向量分析的基础内容，它们为向量运算提供了简洁而有效的工具。通过坐标运算，我们可以方便地计算向量的加法、减法、数乘、点积、叉积、长度、夹角以及投影等，这对于解决几何问题和物理问题具有重要的应用价值。