中国科学技术大学2023年数学分析考研真题PPT

选择题（每题5分，共30分）设函数 $f(x)$ 在 $[ab]$ 上连续，且 $f(x)$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则下列说法正确的是（ ...

选择题（每题5分，共30分）设函数 $f(x)$ 在 $[ab]$ 上连续，且 $f(x)$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则下列说法正确的是（ ）。A. $M > m$B. $M < m$C. $M = m$D. 无法确定答案：C. $M = m$设函数 $f(x)$ 在 $(ab)$ 上可导，且 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 上的取值范围为 $[c, d]$，则下列说法正确的是（ ）。A. $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的值域为 $[f(a)+c, f(b)+d]$B. $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的值域为 $[f(a)-d, f(b)-c]$C. $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的值域为 $[f(a)+c, f(b)-d]$D. $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的值域为 $[f(a)-d, f(b)+c]$答案：A. $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的值域为 $[f(a)+c, f(b)+d]$设集合 $A = { x \mid x^2 + x - 2 = 0}$则下列说法正确的是（ ）。A. $A$ 中有两个元素，分别为 $-1$ 和 $2$B. $A$ 中只有一个元素，为 $-1$C. $A$ 中只有一个元素，为 $2$D. $A$ 中没有元素答案：A. $A$ 中有两个元素，分别为 $-1$ 和 $2$填空题（每题10分，共60分）$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (e^x + x^2) \mathrm{d}x = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^x \mathrm{d}x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x^2 \mathrm{d}x$ 的值为____答案：$\frac{e^{\frac{1}{2}} - e^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{6} \left[ x^3 \right]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{e^{\frac{1}{2}} - e^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3}$求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 的值____答案：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = - \frac{1}{2}$求 $\int_{0}^{\pi} (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x$ 的值为____答案：$\int_{0}^{\pi} (\sin x + \cos x) \mathrm{d}x = [ - \cos x + \sin x ]_{0}^{\pi} = 0 - (-1) = 1$