平面向量基本定理是向量分析中的基本定理，它声明了任何平面向量都可以由两个不共线的非零向量来表示。下面我们来详细了解一下。定理的表述设$\mathbb{R}...

平面向量基本定理是向量分析中的基本定理，它声明了任何平面向量都可以由两个不共线的非零向量来表示。下面我们来详细了解一下。定理的表述设$\mathbb{R}^{2}$是二维欧几里得空间，如果$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是不共线的两个非零向量（即它们的方向不同且都不为零），那么对于$\mathbb{R}^{2}$中的任意向量$\mathbf{v}$，都存在唯一的实数对$(x, y)$，使得$\mathbf{v} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$。这个定理的重要性在于它揭示了平面向量的基本性质：任何平面向量都可以由两个不共线的非零向量来表示。这也意味着所有平面向量都至少有一个基向量。定理的证明设$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，我们可以通过线性方程组来求解$x$和$y$：$\begin{cases}x\mathbf{a} + y\mathbf{b} = \mathbf{v} \ x\mathbf{a} + y\mathbf{b} = (x, y)\end{cases}$解这个方程组得到$x = \frac{v_1}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$和$y = \frac{v_2}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}$。注意到这里需要$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$都不为零，否则如果$\mathbf{a}$或$\mathbf{b}$为零向量，那么$\mathbf{v} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$就没有意义。唯一性是显然的，因为如果$\mathbf{v} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b} = x'\mathbf{a} + y'\mathbf{b}$，那么我们就得到了一组线性方程组：$\begin{cases}x\mathbf{a} + y\mathbf{b} = x'\mathbf{a} + y'\mathbf{b} \ x\mathbf{a} = x'\mathbf{a} \ y\mathbf{b} = y'\mathbf{b}\end{cases}$由于$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$不共线，所以只有当$x = x'$和$y = y'$时，这个方程组才有解。定理的应用平面向量基本定理的应用非常广泛。例如，它可以用来证明向量的加法、减法和数乘的结合律和分配律。此外，它也是解析几何中许多重要概念的基础，如点的坐标表示、向量的模长和向量的点积。此外，这个定理还可以用于寻找向量的基底。例如，我们可以取两个不共线的非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，然后将任意一个向量$\mathbf{v}$表示为$\mathbf{v} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$。如果我们希望找到一个与给定向量无关的基底，那么我们可以将这个向量表示为基底的一个线性组合。例如，如果我们希望将向量$(3, 4)$表示为基底的一个线性组合，那么我们可以将其表示为$3\mathbf{a} + 4\mathbf{b}$。