基础知识1. 圆锥曲线的定义和性质定义圆锥曲线是平面与一个固定圆锥的侧面相交所得的平面曲线。根据不同的截面位置，圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线性质每...

基础知识1. 圆锥曲线的定义和性质定义圆锥曲线是平面与一个固定圆锥的侧面相交所得的平面曲线。根据不同的截面位置，圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线性质每种圆锥曲线都有其特定的几何属性，如长轴、短轴、焦点距离等，这些属性在解题过程中有重要的应用2. 直线的基本性质定义直线是无限长的，且在同一平面内不相交的线段性质直线的斜率、截距、方向向量等性质在解题中经常用到3. 直线与圆锥曲线的交点问题交点个数根据直线和圆锥曲线的位置关系，可能有一个、两个或没有交点求解方法通过联立直线和圆锥曲线的方程，利用判别式来判断交点个数4. 弦长、面积和距离问题弦长连接直线与圆锥曲线交点的线段长度面积由直线和圆锥曲线围成的区域的面积距离点到直线的距离或直线到直线的距离5. 参数方程和极坐标方程的应用参数方程用于描述曲线上点的坐标变化极坐标方程用于描述曲线上点的极坐标变化解题策略和技巧1. 代数方法与几何方法的结合代数方法通过联立方程、消元、代入等手段求解交点、弦长等几何方法利用圆锥曲线的性质和直线的性质，结合图形直观地解决问题2. 判别式法的应用应用场景当需要判断直线与圆锥曲线的交点个数时步骤联立方程，计算判别式，根据判别式判断交点个数3. 参数方程和极坐标方程的转换技巧参数方程的转换将普通方程转换为参数方程，便于分析曲线上点的变化极坐标方程的转换将普通方程转换为极坐标方程，便于分析极角和极径的变化4. 数形结合思想的应用数代数方法计算数值和表达式形几何方法利用图形直观地理解问题结合将数和形结合起来，充分利用各自的优势解决问题经典例题解析与解答例1：求直线与椭圆相交的弦长（使用代数方法）【分析】本题主要考查直线与椭圆相交的弦长问题，通过联立方程消元，利用韦达定理求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长。【解答】解：设直线$y = kx + m$与椭圆$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$相交于$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点，联立$\left{ \begin{matrix} y = kx + m \ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \end{matrix} \right$.，消去$y$得$(3 + 4k^{2})x^{2} + 8kmx + (4m^{2} - 12) = 0$，由韦达定理得$x_{1} + x_{2} = - \frac{8km}{3 + 4k^{2}},x_{1}x_{2} = \frac{4m^{2} - 12}{3 + 4k^{2}}$，所以$|AB| = \sqrt{(k^{2} + 1)|x_{1} - x_{2}| = \sqrt{(k^{2} + 1)\lbrack(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}\rbrack}$ $= \sqrt{(k^{2} + 1)\lbrack(\frac{- 8km}{3 + 4k^{2}})^{2} - 4(\frac{4m^{2} - 12}{3 + 4k^{2}})\rbrack\text{=} \frac{12(k^{2} + 1)}{3 + 4k^{2}}\sqrt{(4m^{2} - 9)(4k^{2} + 9)}$，当$m^{2} \geqslant \frac{9}{4},k^{2} \geqslant \frac{9}{4}$时，弦长$|AB| = \frac{12(k^{2} + 1)}{3 + 4k^{2}}\sqrt{(4m^{2} - 9)(4k^{2} + 9)}$，当$m^{2} < \frac{9}{4}$或$k^{2} < \frac{9}{4}$时，弦长$|AB| = 0$．故答案为：当$m^{2} \geqslant \frac{9}{4},k^{2} \geqslant \frac{9}{4}$时，弦长$|AB| = \frac{12(k^{2} + 1)}{3 + 4k^{2}}\sqrt{(4m^{2} - 9)(4k^{2} + 9)}$，当$m^{2} < \frac{9}{4}$或$k^{2} < \frac{9}{4}$时，弦长$|AB| = 0$．例2：求抛物线与直线围成的面积（使用几何方法）【分析】本题主要考查直线与抛物线围成的面积问题，通过联立方程消元，得到交点，再利用定积分求面积。【解答】解：由$\left{ \begin{matrix} y = x^{2} \ y = x + 1 \end{matrix} \right$.得$x_{1} = - 1,x_{2} = 1$，所以$\Delta AOB$的面积$S = \frac{1}{2}|x_{1} - x_{2}| \cdot |y_{1}| = \frac{1}{2}| - 1 - 1| \cdot | - 1| = 1$．故答案为1．例3：判断直线与双曲线位置关系（使用判别式法）【分析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，通过联立方程消元，利用判别式判断位置关系。【解答】解：由$\left{ \begin{matrix} y = \frac{x}{a} \ x^{2} - ay^{2} = a^{2} \end{matrix} \right$.得$(a^{2} - y^{2})x^{2} - a^{3}y^{2} = a^{4}$，所以$\Delta = a^{6}(a^{4} - 4) = a^{6}(a^{2} + 2)(a^{2} - 2)$，当$\Delta > 0$即$a > \sqrt{2}$或$- \sqrt{2} < a < 0$时，直线与双曲线有两个交点；当$\Delta = 0$即$a = \pm \sqrt{2}$时，直线与双曲线有一个交点；当$\Delta < 0$即$0 < a < \sqrt{2}$或$- \sqrt{2} < a < 0$时，直线与双曲线无交点．故答案为：当$\Delta > 0$即$a > \sqrt{2}$或$- \sqrt{2} < a < 0$时，直线与双曲线有两个交点；当$\Delta = 0$即$a = \pm \sqrt{2}$时，直线与双曲线有一个交点；当$\Delta < 0$即$0 < a < \sqrt{2}$或$- \sqrt{2} < a < 0$时，直线与双曲线无交点．